ELİF AK
Matematik hakkında ufak bir fikre sahibi olduğum yaşlardan itibaren, çevremdeki karmaşayı analiz etmeye başlamıştım. Benim için ağaç dalları, bulut hareketleri hatta kuş sürülerinin dansı görsel bir etkiden daha fazlasını ifade ediyordu. Daha sonra örüntü ve fraktal kavramlarının da hayatıma girmesiyle beraber gözlemlediğim bu olayları anlamlandırmaya çalıştım. Bu çaba beni ilk olarak fraktalların babası olan Benoit Mandelbrot’a götürdü.
Benoit Mendelbrot : Düzendeki pürüz
“Each part is a linear geometric reduction of the whole, with the same reduction ratios in all direction” (Her bir parça, tüm yönlerde aynı indirgeme oranlarına sahip, bütünün doğrusal bir geometrik indirgemesidir.) – B. Mandelbrot
1950’li yıllarda Benoit Mandelbrot, günümüzde de dünyanın en büyük bilişim şirketlerinden olan IBM’de matematikçi olarak çalışmaktadır. Mandelbrot, dijital ortamda gözlemlediği hataları tekrar ettikleri zaman skalerlerine göre ayırarak inceledi ve bunun sonucunda bir düzen keşfetti. Bu keşfedilen düzen, günümüzde de kullandığımız fraktal geometrisinin varlığının ilk kanıtıydı.
“The parts, no matter how small they might be, resemble the whole.” (Parçalar, ne kadar küçük olursa olsun, bütüne benzer.) – B. Mandelbrot
Öz-benzerlik (self-similarity) kavramı, Mandelbrot ve matematikçilerin yapmış olduğu çalışmalar sonucunda ortaya çıkmıştır. Parçalardan meydana gelmiş olan bütün, sabit bir fonksiyon dizilimine bağlı kalınarak değişken sayılarla oluşturulmuş denklemin oluşturduğu bir dizilimin sonuç ürünüydü. Mandelbrot yapmış olduğu çalışmalarda bu dizilimi keşfederek “Mandelbrot Kümesi” ni elde etti (Şekil 2). Bu küme f(z) fonksiyonun karmaşık sayılar düzlemindeki z parametresinin karesi alınarak sabit bir sayının eklenmesiyle oluşmaktaydı.
Matematik alanında yapılmış çalışmalar haricinde öz-benzerliği çeşitli alanlarda da gözlemleyebiliriz. Doğada görülen en belirgin örnek, eğrelti otu ve brokolidir. Dijital ortamda hazırlanmış bu iki görüntü parçaların oluşturduğu bütün ilişkisini net bir şekilde anlatmaktadır. Brokolinin dallarında oluşan parça örüntüsünü, brokolinin bütününde de gözlemleyebilmek mümkün. Aynı şekilde eğrelti otunun gövdeye bağlı olan sayısız yaprağının dizilimini bütün ilişkisine de yansıdığını görebiliriz (Şekil 3; Şekil 4).
Müzik alanında öz-benzerlikten faydalanarak hazırlanan birçok çalışma olmuştur. Oktavlarla ayrılmış sinüs dalgalarının üst üste gelmesi sonucu oluşan “Shepard melodisi” örnek verilebilir. Ayrıca Danimarkalı besteci Per Nørgård, müziğinin çoğunda “sonsuzluk serisi” olarak adlandırılan kendine benzer bir tamsayı dizisi kullanmıştır (Şekil 5; Şekil 6).
“Fractal geometry is a new language. Once you speak it, you can describe the shape of a cloud as precisely as an architect can describe a house” (Fraktal geometri yeni bir dildir. Bir kez konuştuktan sonra, bir mimarın bir evi tanımlayabileceği gibi bir bulutun şeklini tam olarak tanımlayabilirsiniz). – Michal Barnsley (Fractals Everywhere)
Fraktallar
Fraktallar, desenleri kendilerinden kopyalanmış daha küçük ölçeklerden oluşan ve ölçekler arasında öz benzerliğe sahip olan kendine benzer kümelerdir. Bu, kalıpları sonsuz küçük ölçekte tekrarladıkları anlamına gelir. Fraktal nesneler, her aşamalı ölçekte tam olarak veya hemen hemen aynı olma özelliklerini gösterir. Matematiksel açıdan bakıldığında, fraktal nesneler, bir ve iki boyutlu şekiller arasında (çizgiler ve yüzeyler olarak) veya iki ve üç boyutlu formlar (yüzeyler ve katılar olarak) arasında ara nesneler olmaları için kesirli boyuta sahip kümelerdir [1].
Fraktal geometriye doğada, geometride hatta galaksilerde rastlasak da aslında bu geometrinin yansımalarını insan vücudunun anatomisinde de gözlemlemekteyiz. Akciğerlerimizi saran ve göz yapısını besleyen kılcal damarlarımız birer fraktal örneklerindendir (Şekil 7; Şekil 8).
Fraktal Geometrisinin Mimari Tasarımda Uygulamaları
Fraktal geometri, mimari tasarımda yerleşim yerlerinin fraktal geometrisini incelemek ve tasarım metotlarını oluşturmak için uygulanmıştır. Mimari alanda kullanılan en eski örnekleri Avrupa’da, 12. yüzyılın başlarında binalarda kullanılan motiflerde görüldü. 1104 yılında inşa edilen İtalya’daki Anagni Katedrali’nin zemini, Sierpinski fraktal şeklinde düzinelerce mozaikle süslenmiştir [1].
Fraktallar geometrisi kullanımı mozaik motifleriyle sınırlı kalmamıştır. Bunun yanında gücü ve dengeyi yansıtmak için birçok yüksek yapıda da tercih edilmişti. Fraktal yükselmelerin etkisine sahip olan Avrupa’nın pek çok yerinde, Orta Doğu’da ve Asya’da klasik mimarinin bazı örnekleri görülebilir. Venedik şehri fraktal geometriyi kullanan en iyi örneklerden biridir. Fraktal mimarinin diğer bir örneği, Federico II (1194 – 1250) tarafından geliştirilen “Castel del Monte” dir (Andria, İtalya). Dış şekil, iç avlu gibi sekizgendir [2] .
Gotik katedrallerinin de fraktal geometrisini kullandığı biliniyor. Sivri kemerlerde, giriş kısımlarında ve pencerelerde birçok ölçek ve ayrıntıyla incelenmektedir. Barselona’nın tarihi kesimindeki konut yapılarının cephelerini incelediğimizde de kendini tekrar eden geometrik şekillere rastlamak mümkün.
Fraktal Geometride Cephe Örnekleri
1.Lideta Mercato
Etiyopya – 2016 – Xavier Vilalta
Lideta Mercato, Addis Ababa şehrinde alışveriş merkezi olarak tasarlanmıştır. Şehirdeki mevcut alışveriş merkezi yapıları incelendikten sonra temel sorunlardan biri, binaların cam cephelerinden kaynaklı olan verimsiz termal koşulları ve iç mekanların aşırı aydınlanması olarak belirlenmiştir. Bunun üzerine bölge iklimine uygun bir cephe tasarımı düşünülmüştür.
Mimar Xavier Vilalta, Etiyopya halkının geleneksel motiflerle süslenmiş kadın elbiselerindeki dokuyu cephe tasarımında kullanmak istemiştir. Böylelikle bölgeye uygun geleneksel bir cephe tasarlamakla beraber, doluluk-boşluklarla mekan içindeki ışık geçişlerini de kontrol edebilmiştir. Kadın elbiselerini analiz ederek genel bir örüntü oluşturmuştur.
İlk sırada pencereler, her iki tarafta bir büyük pencere ile ayrılmış 8 küçük pencereden oluşmaktadır. Ve bu desen satır boyunca tekrar etmektedir. İkinci sırada ise satır yeni bir örüntü düzeniyle yani 20 pencereden oluşmaktadır. Üçüncü satırda dizilim 8 pencere olarak devam etmektedir.
8-20-8-20-8-20
2.Federation Square
Melbourne , 2002 – Lab Architecture Studio
Lab architecture studio mimarları bina cephesinde bir ızgara sistemi geliştirdi. Belirli bir tasarım algoritmasına sahip olan bu ızgara sisteminin üzerine farklı zamanlarda yerleştirilebilen paneller sayesinde cephe dinamik ve değişken bir görüntü almaktadır.
Kaplama malzemesi olarak üç malzeme seçildi. Bunlar çinko, kumtaşı ve cam. Fraktal bir sistemden oluşan bu cephenin bileşenleri tek bir üçgen, beş karo ve beş mega panelden oluşmaktadır. Oranları tek bir karo şekli olarak korunmaktadır. Bu parçalar mega panel yapı modülünü oluşturmaktadır.
3.Grand Egyption Museum
Mısır , 2003 – RMC
Dünyanın en büyük arkeoloji müzesi olarak nitelendirilen müzenin cephe tasarımında benzer bileşenlerden oluşan mega çerçeve kullanılmıştır. Binayı sarmak için 750m uzunluğunda 46m yüksekliğinde yarı saydam paneller tasarlanmıştır. Cephe örüntüsü ise aslında oldukça tanıdıktır.
Sierpinski üçgeni cephe tasarımında belirli bir şekilde kullanılmıştır. Bu üçgen sayısız eşkenar üçgenin farklı oranlarda bir araya gelmesiyle oluşur. Pascal üçgenini belirli doğal sayılara bölünmesiyle sierpinski üçgenine benzeyen sayısız üçgen elde ederiz. Bu cephede kullanılan örüntü ise buna benzerlik göstermektedir. Belirli oranlarda tekrar eden üçgenlerin kullanıldığı dizilim devasa cephe panellerindenden oluşmaktadır. Parçalar aslında bütünün aynısıdır.
4.V&A Spiral Museum
İngiltere , 1996 – Daniel Libeskind + Cecil Balmond
Daniel Libeskind, Charles Jencks tasarımlarından ilham alarak “Doğrusal olmayan bir mimari” tasarlama çabasındaydı. Duvarları spiral bir şekilde birleşimi sayesinde bina cephesinde dalgalı bir form yarattı. Oluşturulan bu form her ne kadar kaosu, karmaşayı anımsatsa da aslında organize bir süreç sonucunda üretilen bir parametrenin sonuç ürünüydü.
Balmond ise projedeki dış yüzey çalışmalarına katkı sağladı. Her biri işlenmiş altın bir dikdörtgenden türetilen mozaik karoların deseni, dış yüzeyleri kaplamakta. Pikselli statik bir görüntü elde edilen bu desen sayesinde formdaki dinamiklik cephe kaplamasına da yansıdı. Oluşturulan bu fraktal sarmal duvarı tümüyle beslediği gibi aynı zamanda tamamlanmamış bir görüntü sağlamakta. Cecil Balmond’a göre, bu “Her zaman evrim geçiren bir tür hareketlilik ekler.”
Fraktal Geometri ve Parametrik Tasarım
İlk olarak parametrenin tanımını yaparsak, bir durum için tanımlanan ve değiştirilebilen nicelik olarak ifade edilmektedir. Parametrik Tasarım ise belli sayılar ve algoritmalardan oluşan değişkenler ya da parametreler tarafından yönlendirilen tasarımlardır. Peki parametrik tasarımın Mandelbrot’un oluşturduğu z=z2 + c fonksiyonundan farkı nedir?
Parametrik tasarımda amaç, çok sayıda alternatif tasarım arasından ideal tasarımı üretebilmektir. Dijitalleşen mimaride bu örnekleri sıkça görmekteyiz. Bu durum aslında, sınırsız ve dinamik geleneksel tasarım tekniklerinden biri olan fraktal geometrisinin günümüzde dijitalleşme çağına nasıl ayak uydurduğunun bir göstergesi. İkisinin de oluşturduğu hem rastgele hem de determinist karakteristik yapısı sonuç ürünün kontrol edilebilmesini ve çeşitlendirilebilmesini sağlıyor.
Günümüzde fraktal geometrisinin matematiğiyle parametrik tasarımlar oluşturmak mümkün. Tekrar eden örüntülerden oluşan parça-bütün uyumunu yansıtabilmek, sabit fonksiyona bağlı kalarak değişken veriler elde edebilmekte.
Sabit bir fonksiyonun temel alındığı, sınırsız varyasyona sahip olan bir havuzdan ideal tasarımı dijital ortamdan belirleyebiliriz. Sonuç ürününü ne kadar kompleks bir halde gözlemlesek de aslında içinde oluşturduğu düzen Mandelbrot’un denklemi kadar basit.
*Kapak Görseli https://www.archdaily.com/768565/ad-classics-v-and-a-spiral-daniel-libeskind-plus-cecil-balmond adresinden alınmıştır.
Kaynaklar
- Lu, Xiaoshu, Derek Clements-Croome, and Martti Viljanen. “Fractal geometry and architecture design: case study review.” Chaotic Modeling and Simulation (CMSIM) 2 (2012): 311-322.
- Sala, Nicoletta. “Fractal models in architecture: a case of study.” Proceedings International Conference on Mathematics for Living. 2000.
- Rubinowicz, Pawel. “Chaos and geometric order in architecture and design.” Journal for Geometry and Graphics 4.2 (2000): 197-207.
- Burry, Jane, and Mark Burry. The new mathematics of architecture. London: Thames & Hudson, 2010.
https://www.muhendisbeyinler.net/mandelbrot-kumesi-nedir/
https://tr.wikipedia.org/wiki/Shepard_melodisi
https://www.youtube.com/watch?v=2G0wQfUl9EU
https://www.archdaily.com/789535/lideta-market-vilalta-arquitectura
https://arcspace.com/feature/federation-square/
https://blog.burotime.com/dijitallesen-mimari-ve-parametrik-tasarimin-faydalari/
Url-1: https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity
Url-2 : https://tr.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_k%C3%BCmesi
Url-3 / Url-4: https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity
Url-5 : https://awesci.com/shepard-tone-an-incredible-auditory-illusion/
Url-6 : https://opusmodus.com/forums/topic/956-infinity-series-applied-to-scalesmodes/
Url-7 : http://jasser.nl/about/fractal-geometry/
Url-8 : https://fractalfoundation.org/OFC/OFC-1-3.html
Url-9 : https://www.anagnia.com/2020/06/05/
Url-10 : https://www.semanticscholar.org/paper/Fractal-geometry-and-architecture-design
Url-11 / Url-12 : https://www.archdaily.com/789535/lideta-market-vilalta-arquitectura
Url13 : https://www.youtube.com/watch?v=2G0wQfUl9EU
Url-14 : https://www.globalballooning.com.au/blog/top-10-things-to-do-for-under-5-before-or-after-your-balloon-flight-in-melbourne
Url-15 : https://www.researchgate.net/figure/Composition-of-the-facade-of-the-Federation-Square-in-Melbourne-by-Lab-A-S-as-an_fig9_290654928
Url -16 : https://www.business-live.co.uk/enterprise/haley-sharpe-design-leicester-helps-17187367
Url -17: https://tr.mathigon.org/course/fractals/sierpinski
Url-18 / Url-19 : https://www.archdaily.com/768565/ad-classics-v-and-a-spiral-daniel-libeskind-plus-cecil-balmond
METAMETRİK 